Установление последовательности событий последовательность дней в неделе. Open Library - открытая библиотека учебной информации

Методика также была описана А. Н. Бернштейном еще в 1911 году для ис­следования сопоставления, сравнительной оценки нескольких данных в их отношениях друг к другу, в том числе и для исследования особенностей мыс­лительной деятельности психически больных детей разного возраста. С по­мощью методики исследуется также способность к пониманию ситуации и предвосхищению событий. В наиболее общем виде можно сказать, что для выполнения данного задания ребенок должен соотнести различия в отдель­ных элементах рисунков и, руководствуясь ими, определить последовательность расположения сюжетных картинок. Вначале путем невербальных действий устанавливается связь изображенных на них событий, а затем данная последовательность картинок вербализуется - по ней составляется связный рассказ.

Цель. Исследование особенностей мыслительной деятельности ребенка » возможности установления причинно-следственных и пространственно-временных связей, анализ речевого развития ребенка.

Используются различные по сложности серии сюжетных картинок. В каждой серии картинки объединены сюжетом, в соответствии с которым испытуемый должен расположить их в определенной последовательности. Методика широко используется в ряде диагностических комплексов, наиболее известным из которых в нашей стране является методика Векслера, описанная в боль­шинстве современных пособий по психодиагностике. В то же время используемые в методике Векслера сюжетные последовательности к настоящему времени, будучи распечатаны во множестве популярных и околонаучных психологических изданий, достаточно хорошо известны не только в кругах специалистов. Кроме того, сами изображения соответствующего (десятого) субтеста перцептивно «перенасыщены», что час­то вызывает трудности зрительного опознания у современных детей, снижая тем самым дифференциально-диагностическую ценность методики.

Вследствие этого, начиная с 1992 года, нами был подобран и используется предлагаемый набор сюжетных последовательностей, разра­ботанный на основе несколько упрощенных (из вышеуказанных соображений) рисунков X. Бидструпа. Размер, перцептивная сложность и цветовая гамма изображений под­бирались и адаптировались в соответствии с особенностями зрительной перцепции совре­менной детской популяции.

Стимульный материал. Методика представля­ет собой набор из четырех оригинальных, ранее не использовавшихся в диагностической прак­тике сюжетных последовательностей, выпол­ненных синим контуром на белом фоне, марки­рованных латинскими буквами в перевернутой по отношению к ребенку позиции 28 . Такая цве­товая гамма, как показывают многолетние ис­следования, вызывает бблыную заинтересован­ность ребенка в работе, менее контрастна и не вызывает зрительного дискомфорта (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Образец стимульного материала методики «Последовательность событий» (серия «А») (приведены в измененном масштабе и черно-белом варианте)

Последовательности ранжированы по сложности сюжета и количеству ри­сунков в каждом сюжете. Первая последовательность сюжетных картинок - «Снеговик» - состоит из трех картинок (маркировка «А») и является наиболее простой 29 . Вторая по сложности сюжетной линии последовательность - «Клум­ба» (маркировка «В») - состоит из четырех картинок. Третья по сложности последовательность - «Портрет» (маркировка «С») - состоит из пяти сюжет­ных картинок. В последней сюжетной последовательности уже присутствуют характеристики комичности-трагичности (эмоционального подтекста). Наи­более сложной по построению сюжетной линии, причинно-следственным и временным связям в настоящей методике является четвертая последователь­ность - «Садовод» (маркировка «D»), состоящая из шести картинок. Трудность выполнения этой последовательности определяется не только количеством картинок, которые необходимо разложить в правильной (адекватной) после­довательности, но и пониманием комичности самой ситуации (что же на са­мом деле прижилось у садовода?). Комичность ситуации находится в тесной взаимосвязи с перцептивной сложностью сюжета.

Возрастной диапазон применения. Соответствующие серии картинок пред­назначены для работы с детьми от 3,5-4 до 7-8 лет.

Процедура проведения и регистрации результатов

Перед ребенком на столе в случайном порядке (но не в линию) располага­ются картинки доступной ребенку, по мнению специалиста, серии.

Инструкция 1. «Здесь на картинках нарисован рассказ. Посмотри на них вни­мательно, подумай, с чего все началось, что было потом и на какой картинке на­рисована окончание рассказа. Разложи, как все было, с чего началось и чем закон­чилось. Посмотри внимательно и начинай раскладывать».

В соответствующем разделе протокола регистрируются все действия ребен­ка. Отмечается, как он рассматривает картинки, как начинает работать, в ка­ком стиле (хаотично или целенаправленно) действует. Замечает ли ребенок несуразности в последовательности или просто продолжает свою раскладку, просматривает ли всю последовательность после ее завершения, спокоен он или тревожится, как ориентируется на возможные реакции взрослого, обра­щается ли за помощью или работает самостоятельно и т. п.

После завершения работы психолог записывает в протоколе порядок располо­жения карточек и их направление (слева - направо или справа - налево и пр.).

Инструкция 2. «А теперь попробуй составить рассказ по тем картинкам, ко­торые ты разложил, и дай этому рассказу название».

Особенности рассказа по данной серии изображений, в первую очередь, возможность понимания его основного смысла (последнее выражается, в том числе, и в возможности дать адекватное название разложенной последовательности) фиксируются в протоколе.

Если ребенок справляется с данным заданием, то предъявляется следующая по сложности (в данном случае, количеству картинок) последовательность Со стороны психолога возможны различные виды помощи (стимулирующая и организующая помощь, полное обучение), характер и объем которой также заносятся в протокол.

Анализируемые показатели

□ доступный уровень сложности;

□ соответствие рассказа ребенка созданной им последовательности кар­тинок, адекватность названия;

□ логичность и связность самого рассказа (способность установления причинно-следственных и пространственно-временных закономерностей);

□ уровень речевого развития, в том числе возможность дать название сложенной последовательности;

□ пространственная ориентация разложенных ребенком картинок (как, в определенной степени, показатель специфики межфункциональной организации мозговых систем);

□ критичность ребенка к результатам собственной деятельности.

Анализ результатов

В первую очередь анализируется доступный уровень сложности, то есть пол­ное соответствие сюжета, созданного ребенком, разложенной последователь­ности. При этом довольно часто для того, чтобы соответствовать созданной последовательности, рассказ ребенка оказывается нестандартным, лишенным привычной для взрослого логики. Формально такая оригинальная раскладка может считаться неправильной, но, с нашей точки зрения, должна быть оце­нена как адекватная, если созданный ребенком сюжет рассказа ей полностью соответствует. Так, если рассказ точно соответствует разложенному ребенком порядку, а сам ребенок ловко придумывает оправдание некоторым несоответ­ствиям, то есть «складно» излагает рассказ и может придумать ему название в той же логике, то задание следует считать выполненным.

Иногда, наоборот, при формально правильно разложенной последователь­ности картинок ребенок не в состоянии построить адекватный рассказ или дать адекватное название, соответствующее смыслу сюжета. В этом случае задание считается выполненным лишь частично. У детей с выраженными трудностями «вербализации» сюжета (дети с вариантами парциальной несформированности когнитивного компонента познавательной деятельности) критерием дос­тупности выполнения может выступать название сюжета, даже в случае ори­гинальной последовательности разложенных ребенком картинок.

Очень важно оценить, улавливает ли ребенок юмористическую окраску предлагаемых заданий (сюжеты «Портрет» и «Садовод»), как меняется выра­жение его лица, мимика, эмоциональные высказывания по поводу сюжета.

В соответствии с обычной логикой рассказ ребенка анализируется с точки зрения не только речевого оформления (соответствия возрасту, развернутости речи, ее активности, грамматической правильности), но и с точки зрения по­нимания причинно-следственных и пространственно-временных отношений, Так, в сюжетной последовательности «Портрет» можно выяснить у ребенка, как, в конце концов, была повешена картина: так, как хотели раньше (с ис­пользованием лестницы - то есть высоко), или как-то по-другому, и почему В последовательности «Клумба» ребенок может рассказать, что в начале собрали цветы, после этого перекопали землю и посадили что-то новое (например, лук), а затем этот лук вырос. Тем самым сама последовательность будет выглядеть следующим образом: 4, 1, 2, 3. Но, в то же время, причинно-следственная и, соответственно, временная последовательность событий оказывается сохра­ненной, что позволяет считать выполнение задания правильным. Хотя, безус­ловно, такое выполнение задания допустимо для детей не старше 6,5-летнегс возраста, имеющих хотя бы небольшой опыт «садово-огородных» работ (по­следнее можно рассматривать в качестве одного из показателей социально-психологического норматива).

Все особенности устного рассказа ребенка (связность, развернутость, грам­матическая правильность, специфика звукопроизношения, интонирования \ т. п.) оцениваются с точки зрения их соответствия возрасту и соотносятся (актуальным уровнем развития ребенка. Так, например, ребенок может с тру дом справиться с серией «Клумба», говоря, что это разные люди и разные мальчики, но при этом само речевое оформление может быть чрезвычайно «пышным», с наличием взрослых оборотов, элементов резонерства, эмоциональным несоответствием и собственно уходом рассказа от самого сюжета. В данном случае можно говорить о диспропорции уровней речемыслительного и аффективно-эмоционального развития, характерной для определенных типов отклоняющегося развития.

Очень часто у детей школьного возраста уже сам процесс раскладки сери] «Садовод» вызывает смех, то есть ребенок прекрасно замечает комичность ситуации. В то же время иногда он не в состоянии сформулировать связный рас сказ, отражающий эту комичность. Очень часто от рассказа остаются одни междометия или вообще «сухой остаток»: «это», «вот», «оно потом», «ничего не получилось», «черти что выросло» и т. п. По отношению к серии «Портрет это может выразиться в своеобразном выражении (штампе-эмболе): «Ну даешь, руки-крюки».

Большое значение имеют пространственная ориентация и направления раскладывания сюжетной последовательности и распределения (компоновки картинок на поверхности стола. Следует проанализировать такие стратеги] раскладывания от первой картинки к последней, как: справа-налево, «этажа ми» и тому подобное оригинальное и своеобразное размещение картинок сюжета в пространстве плоскости стола. Стратегия работы справа-налево имеет основание анализироваться как недостаточно адекватная, отклоняющаяся о возрастного норматива только начиная с 5-летнего возраста, и только тогда может оцениваться как косвенный показатель специфики формирования меж функциональной организации (в том числе и специфики профиля латеральных предпочтений). Это позволяет с высокой степенью вероятности прогнозировать трудности овладения программным материалом в начальной школе»!

Раскладка «от себя» или «к себе» встречается не так часто, как раскладке картинок справа-налево, но также может свидетельствовать о проблемах формирования пространственных представлений.

Важным показателем анализа является возможность переноса усвоенного способа действия на последующее по сложности задание (показатель обучав» мости ребенка).

Также при оценке выполнения задания необходимо обратить внимание на объем помощи (часто в виде вопросов психолога по поводу несоответствия рас­сказа), необходимой ребенку для изменения рассказа, на то, как ребенок при­нимает эту помощь. Этот момент выполнения ребенком задания можно рас­сматривать как один из показателей критичности.

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

См. также:

Определение

Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:


.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем


.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства .

Методика предназначена для выявления возможности устанавливать пространственно-временные и причинно-следственные связи по серии сюжетных картинок.

Для проведения обследования необходимо иметь несколько серий состоящих из 2-5 картинок, каждая из которых отражает какое-либо событие несложного сюжета. Серии подбираются разной степени трудности: от самых легких до таких, в которых имеется пропущенное звено. Желательно иметь серии в красках, так как цветные изображения воспринимаются детьми легче, чем черно-белые, и вызывают больший эмоциональный интерес.

Ребенку показывают пачку перемешанных, заранее пронумерованных картинок: «Вот здесь на картинках один рассказ. Найди, с чего все началось, что было потом, чем все кончилось. Положи все картинки по порядку (одновременно показывать жестом). Сюда положи первую картинку, сюда - вторую, ...а сюда положи последнюю картинку».

Перед ребенком выкладывают перемешанные в беспорядке картинки: «Посмотри картинки и начинай раскладывать». В протоколе регистрируются все действия ребенка: как он рассматривает картинки, как начинает действовать (целенаправленно или хаотично, не задумываясь над очередной картинкой), замечает ли ошибки и исправляет их или не обращает на них внимания и продолжает выкладывать дальше, просматривает ли еще раз всю раскладку после ее завершения и т.д. После окончания раскладки, экспериментатор записывает в протоколе полученную последовательность. Если ребенок сразу выполнил задание правильно, ему предлагается другая, более сложная серия с краткой инструкцией:

«На этих картинках другой рассказ. Разложи все картинки по порядку» (жест).

Если серия разложена неправильно, переходят ко второму этапу по этой же серии. «Ты разложил неправильно (экспериментатор выбирает первую картинку). Вот это первая картинка. Положи ее сюда (остальные в беспорядке выкладывает перед ребенком). А эти картинки (жест) разложи по порядку».

Если ребенок выполнил задание правильно, ему дают аналогичную серию с тем, чтобы проверить, сможет ли он применить освоенный способ действия. Если серия не разложена, начинают следующий этап.

Экспериментатор рассказывает весь сюжет, подчеркивая слова «раньше», «потом» и сопровождает свой рассказ последовательным выкладыванием картинок. Затем снова перемешивает картинки и предлагает ребенку разложить их по порядку.

Если все выполнено правильно, ребенку дают аналогичную серию, если нет -еще повторяют предыдущий этап, стараясь получить правильную раскладку. Дополнительные объяснения по схеме четвертого этапа обязательно заносятся в протокол.

При оценке выполнения задания основное внимание обращается на количество помощи (этапы - подсказки), необходимой ребенку для получения правильного результата, на то, как он принимает эту помощь, и на возможность «переноса».

Примерные серии последовательных картинок для младших детей: «Волки», «Лодки», «Колодец», «Собака-санитар», «Вороны», «Весна наступила», «Мальчик и собака», «Лиса и ворона», «Хитрый мышонок», «Заяц и морковка», «На льдине».

Классификация предметов

Метод предметной классификации применяется для исследования процессов обобщения и абстрагирования. Он состоит в распределении предметов по группам в зависимости от их сходства и различия. Кроме того, применение этого метода дает возможность выявить особенности внимания, личностных реакций испытуемого на свои успехи и неудачи.

Для проведения исследования необходимо иметь набор из 70 карточек, на которых изображены разнообразные предметы и живые существа. Для получения достоверных данных следует пользоваться стандартным набором карточек.

Методика классификации предметов применяется как для исследования взрослых, так и детей (от б лет). В зависимости от возраста испытуемого из общего набора или исключают часть карточек (измерительные приборы, учебные пособия), или отбирают небольшое число карточек (20 штук), которые распределяются на простые группы, хорошо известные детям.

Для наиболее простого варианта методики необходим набор из 25 картинок. Всегда в одном и том лее порядке предлагаются 20 заранее пронумерованных картинок: яблоко, диван, коза, лошадь, стол, ребенок, велосипед, телега, сливы, женщина, пароход, шкаф, собака, арбуз, моряк, этажерка, кузнец, кошка, самолет, груша.

Перед ребенком кладут 5 непронумерованных ориентировочных карточек: лыжник, кровать, грузовик, вишня, овца.

Показывают ребенку пачку картинок: «Эти картинки разложим по группам -что к чему подходит». Затем предъявляют ребенку первую картинку - яблоко: «Куда мы положим яблоко?» При затруднениях в речи ребенок может показать жестом. Если он показывает верно, экспериментатор одобряет: «Правильно, положи к вишне. Это фрукты». (Обобщающее понятие дает сам экспериментатор.) Если попытка испытуемого не удалась, экспериментатор объясняет сам: «Положи к вишне, это фрукты».

Затем показывают вторую картинку - диван - с тем же вопросом: «Куда положим диван?» При неправильном решении экспериментатор опять объясняет, что эту картинку нужно положить к кровати, так как это мебель.

Экспериментатор продолжает раскладывать и объяснять, давая обобщенные понятия до тех пор, пока ребенок не начнет раскладывать сам. В протоколе отмечается номер картинки, с которой ребенок начинает правильно соотносить предметы по обобщенному признаку (нумерация картинок облегчает запись в протоколе).

Эти записи позволяют лучше разобраться в особенностях протекания процессов анализа и синтеза, понять, доступно ли ребенку установление обобщенной связи между предметами или он объединяет их по конкретным признакам.

Поскольку обследование носит характер обучающего эксперимента, то при анализе данных решающее значение приобретают число этапов, необходимых для усвоения принципа действия, и возможность применения этого принципа в дальнейшей работе того же рода (т. е. возможности «переноса»).

В протоколе отмечаются номера картинок, вопросы и объяснения экспериментатора, действия ребенка, его вопросы и высказывания. Этот вариант методики у детей с первично сохранным интеллектом не вызывает затруднений. В большинстве случаев после совместного разбора 2-3 (иногда 1) картинок дети улавливают принцип классификации и дальше выполняют работу самостоятельно без ошибок или с единичными ошибками.

Исключение предметов (четвертый лишний)

Методика предназначена для исследования умения делать обобщения и давать логическое объяснение правильности обобщений. В некоторых методических пособиях эту методику называют упрощенным вариантом классификации предметов.

Важным условием применения методики является речевое обоснование выбора. В отношении детей с нарушениями речи допустим ответ одним словом, с поясняющими жестами, если это дает экспериментатору возможность понять принцип, которым руководствовался ребенок. При обследовании детей, которые из-за речевых дефектов не могут объяснить свой выбор, данный метод имеет более ограниченное применение.

Для проведения эксперимента необходимо иметь набор карточек, градуированных по степени трудности. На каждой карточке нарисовано по четыре предмета, три из которых объединяются одним общим понятием, а четвертый предмет под это понятие не подходит. Например: карманные часы, настольные часы, будильник, пятикопеечная монета; керосиновая лампа, электрическая лампочка, солнце, свечи и т. д.

Можно и самим составить наборы, но обязательно с соблюдением особенностей подбора и оформления карточек (нефиксированное положение «лишнего» предмета, включение цветных рисунков).

Все карточки, которые будут предлагаться ребенку, заранее располагают в порядке возрастающей сложности и складывают стопкой на столе. Инструкция дается на примере самой легкой карточки: «Здесь нарисовано четыре предмета. Три предмета похожи, их можно назвать одним словом. А один предмет к ним не подходит. Найди какой?»

Если ребенок сразу правильно выделяет предмет, его просят объяснить: «Почему этот предмет не подходит? Как эти предметы можно назвать одним словом?» Если же ответ ребенка неверный, экспериментатор вместе с ним разбирает первую картинку, дает обозначение трем предметам и объясняет, почему надо исключить четвертый предмет.

Следующую карточку, по трудности одинаковую с первой, предъявляют ребенку с более короткой инструкцией: «Здесь тоже один предмет не подходит к другим. Посмотри, что здесь надо убрать?»

Если задание выполнено правильно, спрашивают: «Почему не подходит? Как одним словом назвать эти три предмета?» При неправильном исключении предмета с помощью вопроса выясняют его мотивацию. Затем говорят ребенку, что он сделал неправильно, и повторяют на примере этой карточки подробный разбор вместе с ребенком.

В протоколе отмечаются номер карточки, вопросы и замечания экспериментатора, исключаемый предмет, объяснения ребенка и обобщающее слово.

«Отыскивание чисел»

Методика используется для выявления скорости ориентировочно-поисковых движений взора и определения объема внимания применительно к зрительным раздражителям. Пригодна лишь при исследовании детей, которые знают числа.

Для проведения опыта нужно иметь пять таблиц Шульте, представляющих собой планшеты (60x90 см), на которых написаны вразброс числа от 1 до 25. На каждой из пяти таблиц числа расположены по-разному. Кроме того, нужны секундомер и небольшая (30 см) указка. Опыт можно проводить с детьми, обучающимися во II классе массовой школы или в IV классе вспомогательной школы.

Ребенку мельком показывают таблицу, говоря: «Вот на этой таблице числа от 1 до 25 расположены не по порядку». Далее таблицу перевертывают и кладут на стол. После этого продолжают инструкцию: «Ты должен будешь вот этой указкой показывать и называть вслух все числа по порядку от 1 до 25. Постарайся делать это как можно быстрее и без ошибок. Понятно?» Если ребенок не понял задания, ему его повторяют. Таблица при этом не открывается. Затем экспериментатор ставит таблицу вертикально на расстоянии 70-75 см от ребенка и говорит: «Начинай!» Одновременно включает секундомер.

Ребенок указывает на числа и называет их, а экспериментатор следит за правильностью его действий. Когда ребенок дойдет до «25», экспериментатор останавливает секундомер.

Затем ребенку предлагают таким же образом показывать и называть числа на второй, третьей, четвертой, пятой таблицах.

При оценке результатов прежде всего становятся заметны различия в количестве времени, которое ребенок тратит на отыскивание чисел. Практически здоровым детям на одну таблицу достаточно 30-50 с (чаще всего 40-42 с).

Заметное увеличение времени на отыскивание чисел в последних (четвертой и пятой) таблицах свидетельствует об утомляемости ребенка, а ускорение - о медленном «вырабатывании».

В норме на каждую таблицу уходит примерно одинаковое время.

Проба на совмещение признаков (по В. М. Когану)

Методика используется для изучения умственной работоспособности детей и подростков. Для проведения исследования необходима доска из картона размером 40x40 см, разделенная на 64 клетки. В каждой из семи клеток (кроме первой слева) верхнего ряда изображено по одной (неокрашенной) геометрической фигуре (квадрат, треугольник, круг и т. д.). В каждой из семи клеток (кроме верхней) вертикального ряда (слева) сделано по одному яркому цветному мазку (красный, синий, зеленый, коричневый, голубой, оранжевый, желтый). На отдельных карточках (их 49) изображены фигурки разных цветов и форм. Цвета и формы этих фигурок соответствуют изображенным на доске цветам и формам.

Карточки тщательно тасуются на каждом из этапов работы. Эксперимент состоит из четырех этапов, на каждом из которых дается своя инструкция.

Инструкция на I этапе (простой пересчет): «Пересчитай вслух эти карточки, откладывая их по одной на стол». Экспериментатор показывает, как это надо делать. Пока ребенок считает, экспериментатор по секундомеру отмечает в протоколе время, затрачиваемое на пересчет каждых 10 карточек (в конце их только 9) и на весь пересчет.

Инструкция на II этапе (пересчет с сортировкой по цвету): «Теперь ты должен также вслух пересчитать эти карточки и одновременно раскладывать их на группы по цвету». В протоколе регистрируется время, затрачиваемое на каждые 10 карточек и на весь пересчет.

Инструкция на III этапе (пересчет с сортировкой по признаку формы): «Эти же карточки пересчитывай вслух и при этом сортируй их уже не по цвету, а по форме». Экспериментатор по-прежнему фиксирует затрачиваемое время.

Инструкция на IV этапе (пересчет по признаку цвета и формы с раскладыванием карточек по свободным клеточкам): «Ты должен найти место для каждой карточки на эгой таблице, учитывая цвет и форму. При этом по-прежнему веди счет-пересчет карточек». В протокол заносятся те же временные показатели. При необходимости экспериментатор словесную инструкцию может сопровождать показом.

По окончании эксперимента у психолога остается следующая таблица.

Форма протокола

Ф.И.__________________________________возраст________

Дата обследования___________________________________

Показатели:

Общее время__________Общее количество ошибок_________

Коэффициент Д ___________ Коэффициент К______

Кривая ошибок ____________Тип кривой ошибок_______

По временным показателям рассчитываются коэффициенты Д и К.

Показатель Д - дефицит внимания - определяется как разница между временем, затраченным на IV этапе работы, и суммой временных затрат П и Ш этапов. Он определяется по формуле: Д=В4-(В2+ВЗ),

Показатель Д указывает на способность к совмещению признаков, дефицит произвольного внимания и, в частности, свидетельствует о трудностях распределения.

Показатель К определяется формулой: К = Д: В4. Этот показатель (коэффициент врабатываемости испытуемого) позволяет оценивать то, как испытуемый усваивает принцип работы. Чем выше показатель, тем быстрее испытуемый усвоил принципы выполнения задания.

Временные показатели (в секундах) выполнения заданий по методике В. М. Когана здоровыми детьми (данные по Т. Д. Молодецких и А. Я. Ивановой) следующие:

Заучивание 10 слов

Это одна из наиболее часто применяющихся методик, она предложена А. Р. Лурия и используется для оценки состояния памяти, утомляемости, активности внимания.

Никакого специального оборудования не требуется. Однако в большей мере, чем при использовании остальных методик, необходима тишина: при наличии каких-либо разговоров в комнате опыт производить нецелесообразно. Перед началом экспериментатор должен записать в одну строчку ряд коротких (односложных и двусложных) слов. Слова нужно подобрать простые, разнообразные и не имеющие между собой никакой связи. Обычно каждый экспериментатор привычно пользуется каким-либо одним рядом слов. Лучше пользоваться несколькими наборами, чтобы дети не могли их друг от друга услышать.

В данном эксперименте необходимы очень большая точность произнесения слов и. неизменность инструкции.

Инструкция состоит как бы из нескольких этапов.

Первое объяснение: «Сейчас я прочту 10 слов. Слушать надо внимательно. Когда кончу читать, сразу же повтори столько, сколько запомнишь. Повторять можно в любом порядке, порядок роли не играет. Понятно?»

Экспериментатор читает слова медленно, четко. Когда испытуемый повторяет слова, экспериментатор ставит в своем протоколе крестики под этими словами (см. форму протокола). Затем экспериментатор продолжает инструкцию (второй этап).

Продолжение инструкции: «Сейчас я снова прочту те же самые слова, и ты должен повторить их - и те которые уже назвал, и те, которые в первый раз пропустил, - все вместе в любом порядке».

Экспериментатор снова ставит крестики под словами, которые воспроизвел испытуемый.

Затем опыт снова повторяется 3, 4 и 5 раз, но уже без каких-либо инструкций. Экспериментатор просто говорит: «Еще раз».

В случае еслииспытуемый называет лишние слова, экспериментатор обязательно записывает их рядом с крестиками, а если слова эти повторяются, ставит крестики и под ними.

Если ребенок в процессе опыта пытается вставлять какие-либо реплики, экспериментатор его останавливает. Никаких разговоров во время опыта допускать нельзя.

После пятикратного повторения экспериментатор переходит к другим опытам, а в конце исследования т.е. примерно через 50-60 мин, снова просит воспроизвести эти слова (без напоминания).

Чтобы не ошибиться, эти повторения лучше отмечать не крестиками, а кружочками.

По результатам исследования составляется график «Кривая запоминания». По форме кривой можно делать некоторые выводы относительно особенности запоминания. Установлено, что у здоровых детей школьного возраста «Кривая запоминания» носит примерно такой характер: 5, 7, 9, или 6, 8, 9, или 5, 7, 10, т. е. к третьему повторению испытуемый воспроизводит 9 или 10 слов; при последующих повторениях (всего не менее 5 раз) количество воспроизводимых слов 9-10. Дети с органическим повреждением мозга воспроизводят сравнительно меньшее количество слов. Они могут назвать лишние слова и «застрять на этой ошибке». Такие повторяющиеся «лишние» слова, по наблюдениям отдельных психологов, встречаются при исследовании больных детей, страдающих текущими органическими заболеваниями мозга. Особенно много таких «лишних» слов продуцируют дети в состоянии расторможенности.

«Кривая запоминания» может указывать и на ослабление активного внимания, и на выраженную утомляемость. Так, например, иногда ребенок ко второму разу воспроизводит 8 или 9 слов, но при последующих пробах припоминает их все меньше и меньше. В жизни такой ученик обычно страдает забывчивостью и рассеянностью. В основе забывчивости лежит преходящая астения, истощаемость внимания. Кривая в этих случаях необязательно резко опадает вниз, иногда она имеет зигзагообразный вид, свидетельствующий о неустойчивости внимания и его колебаниях.

В отдельных, сравнительно редких случаях дети всякий раз воспроизводят одинаковое количество одних и тех же слов, т. е. кривая имеет форму «плато». Такая стабилизация свидетельствует об эмоциональной вялости, отсутствии заинтересованности в том, чтобы запомнить побольше. Кривая типа низко расположенного «плато» наблюдается при слабо­умии с апатией (при паралитических синдромах).

Число слов, удержанных и воспроизведенных испытуемым час спустя после повторения, в большей мере свидетельствует о памяти в узком смысле слова.

Пользуясь разными, но равными по трудности наборами слов, можно проводить этот эксперимент повторно с целью учета эффективности терапии, оценки динамики болезни и т.д.

Опосредствованное запоминание (по А. Н. Леонтьеву)

Для проведения эксперимента необходимо иметь наборы изображений предметов (картинки) и набор слов.

I вариант (6-10 лет).

Набор карточек: диван, гриб, корова, умывальник, стол, ветка, земляника, ручка, самолет, дерево, лейка, дом, цветок, тетради, телеграфный столб, ключ, хлеб, трамвай, окно, стакан, постель, экипаж, настольная электрическая лампа, картина в раме, поле, кошка.

Слова для запоминания: свет, обед, лес, учение, молоток, одежда, поле, игра, птица, лошадь, дорога, ночь, мышь, молоко, стул.

II вариант (после 10 лет).

Набор карточек: полотенце, стул, чернильница, велосипед, часы, глобус, карандаш, солнце, рюмка, обеденный прибор, расческа, тарелка, зеркало, перья (2 шт.), поднос, дом-булочная, фабричные трубы, кувшин, забор, собака, детские штанишки, комната, носки и ботинки, перочинный нож, гусь, уличный фонарь, лошадь,"петух, черная доска (школьная), рубашка.

Слова для запоминания: дождь, собрание, пожар, горе, день, драка, отряд, театр, ошибка, сила, встреча, ответ, праздник, сосед, труд.

Перед ребенком раскладывают рядами все карточки в любом порядке, но так, чтобы они были ему видны. Затем говорят: «Тебе нужно будет запомнить ряд слов. Для того чтобы это было легче делать, нужно каждый раз, когда я буду называть слово, выбирать такую карточку, которая потом поможет припомнить слово. Вот, например, первое слово, которое нужно запомнить... (смотря по тому, какой вариант предлагают, это может быть слово «дождь»). Здесь дождь нигде не нарисован, но можно выбрать карточку, которая поможет запомнить это слово». После того как ребенок Выберет карточку, ее откладывают в сторону и спрашивают: «Как эта карточка напомнит про дождь?» Если ребенок приступает к работе неохотно, то такие вопросы можно задавать после предъявления третьего и четвертого слова. Все отобранные карточки откладывают в сторону. Затем спустя 40 мин или час, т. е. перед концом исследования (после того как проделаны какие-либо другие эксперименты), ребенку в произвольном порядке показывают по одной карточке и просят припомнить, для запоминания какого слова эта карточка была отобрана. При этом обязательно спрашивают, как удалось припомнить или чем эта карточка напомнила соответствующее слово.

Форма протокола

При анализе результатов учитывается, что не может быть правильного или неправильного выбора. Анализируется характер связи, которую испытуемый установил между словом и изображением на карточке.

С 6-7-летнего возраста опосредствованное запоминание преобладает над не­посредственным заучиванием. С возрастом этот разрыв увеличивается еще больше в пользу опосредствованного запоминания. К 15 годам здоровые дети могут вос­производить все 100% предъявляемого материала.

Дети с ослабленной работоспособностью значительно лучше запоминают материал при опосредствованном запоминании, так как смысловая связь создает им дополнительные опорные вехи для запоминания.

Дети с нарушением целенаправленности мышления часто не могут вспомнить ни одного слова (при воспроизведении называют картинки, а не слова), так как еще во время образования связи они как бы теряют основную цель работы - необходимость связать выбор картинки с последующим воспроизведением слова.

Пиктограмма

Методика может быть с успехом использована при военной или судебпо-психиатрической экспертизе. В последние годы делается попытка использовать эту методику для исследования самых маленьких детей, применяя доступные им слова и словосочетания.

Для проведения эксперимента нужна чистая бумага и карандаши (простой и цветные). В подготавливаемых к эксперименту наборах слов и словосочетаний простые понятия могут чередоваться с более сложными, отвлеченными, например: «вкусный ужин», «тяжелая работа», «счастье», «развитие», «печаль» и т. п.

Ребенку объясняют, что будет проверяться его память, можно сказать «зрительная память». Чтобы запомнить отдельные словосочетания, он должен, ничего не записывая, нарисовать то, что поможет ему вспомнить заданное слово.

Выбранные из легких первые выражения могут быть использованы для более подробного разъяснения, уточнения инструкции, даже показа, если ребенок испытывает затруднения в понимании инструкции. По ходу работы желательно просить ребенка давать пояснения к замыслу, деталям, содержанию рисунка. Какие бы связи и рисунки ребенок ни создавал, не следует высказывать неодобрения. Лишь тогда, когда рисунки слишком многопредметны, а сам ребенок больше увлекается процессом рисования, чем выбором связи для запоминания, его можно несколько ограничить во времени.

Через час ребенку предлагают вспомнить заданные слова вразбивку. Можно назвать слова по рисункам и сделать подписи к ним. Иногда ребенку может быть оказана и необходимая помощь

При оценке результатов эксперимента прежде всего подсчитывается количество правильно воспроизведенных слов в соотношении с общим количеством предъявленных для запоминания. Эти данные могут быть составлены с результатами непосредственного заучивания (по методике «заучивание 10 слов»).

В тех случаях, когда требуется установить правильную последовательность действий или слов в определениях, используются задания ОБЖ на установление правильной последовательности. Это более сложный тип задания в тестовой форме, в процессе выполнения которого испытуемый конструирует ответ из предложенной неупорядоченной последовательности слов.

Задания в курсе ОБЖ на установление правильной последовательности используются для проверки знаний хода процесса, цепочки событий, действий и операций, а также определений и понятий. Они помогают формировать у учащихся алгоритмические мышление, знание и умение. Задания этой формы полезны как в качестве средства контроля знаний, так и в качестве средства обучения.

Инструкции к заданиям этой формы имеют вид: УПОРЯДОЧИТЕ: или УСТАНОВИТЕ ПРАВИЛЬНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ:

Основная часть задания пишется заглавными буквами, она дает название тому, знание чего должен продемонстрировать испытуемый, причем ключевое слово в нем должно иметь именительный падеж. В отведенных для ответа местах (в наших примерах это квадратики) тестируемый должен вписать номера элементов в правильной последовательности.

Инструкция может нести необходимые пояснения в соответствии с особенностями конкретного задания. Поэтому в последовательности заданий этой формы инструкции могут меняться часто.

Испытуемый должен расставить в отведенных для ответов местах в начале каждой строчки порядковые номера элементов последовательности действий.

Посредством заданий этой формы можно проверять знание последовательности выполнения действий.

Посредством заданий на установление соответствия можно проверять знание формулировок, определений, правильного порядка членов в предложениях.

Ранжируемые элементы в задании ставятся в случайном порядке. Чтобы окончания слов не служили подсказкой, все слова пишут в именительном падеже. Предлоги и союзы из множества ранжируемых элементов могут исключаться.

Типичная ошибка разработчиков тестовых заданий состоит в том, что в заданиях на установление порядка они включают инструкцию прямо в основную часть задания.

Примеры заданий ОБЖ

1. Последовательность действий при запахе газа в квартире:

А) выключить электрические приборы

Б) выключить конфорки газовой плиты

В) перекрыть газовый кран

Г) позвонить по телефону 04

2. Последовательность действий при укусе животного:

А) наложить стерильную повязку

Б) доставить в лечебное учреждение

В) промыть рану водой с мылом

Г) смазать кожу вокруг раны настойкой йода

3. Последовательность действий при аварии на теплоходе, в результате которой необходима посадка пассажиров на спасательные средства:

А) одеться, обуться, положить деньги и документы в полиэ-тиленовый пакет и убрать его в карман

Б) спуститься в спасательный плот

В) выполнять все указания экипажа корабля

Г) надеть спасательный жилет

4. Последовательность действий при заблаговременном оповещении об угрозе ураганов, бурь, смерчей

А. Закройте и укрепите двери, окна, чердачные люки и вентиляционные отверстия

Б. Включите телевизор, радио, выслушайте рекомендации

В. Возьмите необходимые вещи и документы и выдвигайтесь в укрытие

Г. Подготовьте запасы продуктов питания и питьевой воды

Д. Отключите газ, воду, электричество, погасите огонь в печи

5. Последовательность действий при заблаговременном оповещении о наводнении

А. Включить телевизор, радио, выслушайте сообщения и рекомендации

Б. Перенесите на верхние этажи ценные вещи

В. Отключите газ, воду и электричество, погасите огонь в печах

Г. Выйдете из здания и направляйтесь на эвакуационный пункт

Д. Возьмите необходимые вещи и документы

6. Последовательность действий при попадании АХОВ на кожу

А. Удалите АХОВ механическим путем

Б. Промойте глаза водой в течение 10-15 мин

В. Примените дегазирующие растворы или обмойте пострадавшего с мылом

Г. Проведите санитарную обработку

Д. Обратитесь в лечебное учреждение

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова